Wyznaczenie pierwszego elementu

Oct 13, 2025 by wbrum.org 2 views

Wprowadzenie

Ciągi geometryczne są jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce. Definicja ciągu geometrycznego brzmi: ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy element jest otrzymywany przez mnożenie poprzedniego elementu przez stałą liczbę, nazywaną współczynnikiem geometrycznym. W tym artykule będziemy rozważać ciąg geometryczny o postaci $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ i będziemy wyznaczać jego pierwszy element $a_{1}$ oraz współczynnik geometryczny $q$ .

Definicja ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest zdefiniowany jako ciąg liczbowy, w którym każdy element jest otrzymywany przez mnożenie poprzedniego elementu przez stałą liczbę, nazywaną współczynnikiem geometrycznym. W przypadku ciągu geometrycznego $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ współczynnik geometryczny $q$ jest równy:

q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}

Wyznaczenie współczynnika geometrycznego

Aby wyznaczyć współczynnik geometryczny $q$ , musimy obliczyć wartość $a_{n+1}$ i $a_{n}$ . Zdefiniujmy $a_{n+1}$ i $a_{n}$ :

a_{n+1} = \frac{3*5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} }

a_{n} = \frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }

Teraz, możemy obliczyć wartość $q$ :

q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{3*5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} }}{\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }}

Uproszczając wyrażenie, otrzymujemy:

q = \frac{3*5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} } \cdot \frac{6^{n} }{3*5^{n+1} }

q = \frac{5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} } \cdot \frac{6^{n} }{5^{n+1} }

q = \frac{5^{n+2} }{6^{n+1} } \cdot \frac{6^{n} }{5^{n+1} }

q = \frac{5^{n+2} }{5^{n+1} } \cdot \frac{6^{n} }{6^{n+1} }

q = 5 \cdot \frac{1}{6}

q = \frac{5}{6}

Wyznaczenie pierwszego elementu

Aby wyznaczyć pierwszy element $a_{1}$ , musimy podstawić $n=1$ do wzoru $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ :

a_{1} = \frac{3*5^{1+1} }{6^{1} }

a_{1} = \frac{3*5^{2} }{6}

a_{1} = \frac{3*25} {6}

a_{1} = \frac{75} {6}

a_{1} = 12,5

Podsumowanie

W tym artykule wyznaczyliśmy pierwszy element $a_{1}$ i współczynnik geometryczny $q$ dla ciągu geometrycznego $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ . Wyznaczyliśmy $q$ jako $\frac{5}{6}$ i $a_{1}$ jako $12,5$ .

Część 1: Podstawy ciągów geometrycznych

Q: Co to jest ciąg geometryczny?

A: Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy element jest otrzymywany przez mnożenie poprzedniego elementu przez stałą liczbę, nazywaną współczynnikiem geometrycznym.

Q: Jak obliczyć współczynnik geometryczny?

A: Współczynnik geometryczny $q$ można obliczyć jako $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ , gdzie $a_{n+1}$ i $a_{n}$ są kolejnymi elementami ciągu.

Q: Jak obliczyć pierwszy element ciągu?

A: Pierwszy element ciągu $a_{1}$ można obliczyć przez podstawienie $n=1$ do wzoru $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ .

Część 2: Wyznaczenie współczynnika geometrycznego

Q: Jak wygląda wzór dla współczynnika geometrycznego?

A: Wzór dla współczynnika geometrycznego $q$ jest następujący:

q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{3*5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} }}{\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }}

Q: Jak uproszczyć wyrażenie dla współczynnika geometrycznego?

A: Wyrażenie dla współczynnika geometrycznego można uproszczyć przez anulowanie wspólnych czynników:

q = \frac{5^{(n+1)+1} }{6^{n+1} } \cdot \frac{6^{n} }{5^{n+1} }

Q: Jak ostatecznie wygląda współczynnik geometryczny?

A: Ostatecznie współczynnik geometryczny $q$ jest równy:

q = \frac{5}{6}

Część 3: Wyznaczenie pierwszego elementu

Q: Jak wygląda wzór dla pierwszego elementu?

A: Wzór dla pierwszego elementu $a_{1}$ jest następujący:

a_{1} = \frac{3*5^{1+1} }{6^{1} }

Q: Jak uproszczyć wyrażenie dla pierwszego elementu?

A: Wyrażenie dla pierwszego elementu można uproszczyć przez anulowanie wspólnych czynników:

a_{1} = \frac{3*25} {6}

Q: Jak ostatecznie wygląda pierwszy element?

A: Ostatecznie pierwszy element $a_{1}$ jest równy:

a_{1} = 12,5

Podsumowanie

W tym artykule odpowiedzieliśmy na najważniejsze pytania dotyczące ciągów geometrycznych, w tym wyznaczenie współczynnika geometrycznego i pierwszego elementu dla ciągu geometrycznego $a_{n} =\frac{3*5^{n+1} }{6^{n} }$ .